ANÁLISIS DE REDES
VAN VALKENBURG

CAPITULO 1
  1. DESARROLLO DEL CONCEPTO DE CIRCUITO
    1. INTRODUCCION

      2. Una de las características del método científico es la combinación continua de una gran variedad de hechos que se ajusten a una teoría simple y comprensible con la cual se expliquen tantas observaciones como sea posible. El químico y educador norteamericano James Conant ha utilizado el nombre esquema conceptual para la teoría o la representación resultante1. Quizás el esquema conceptual con el que más familiarizados están los estudiantes de ciencias e ingeniería es el de la teoría atómica, de la que se toman las representaciones del electrón y de la carga eléctrica. Otros esquemas conceptuales importantes son la conservación de la energía y la conservación de la carga.

      Aunque la electricidad y el magnetismo se conocían desde los orígenes de la humanidad – la carga del ámbar por fricción, y el uso del imán en la navegación – no fue sino hasta el siglo XIX cuando se lograron progresos notables en el desarrollo de un esquema conceptual. Cuando, alrededor de 1800, Galvani y Volta descubrieron que la electricidad se podía producir por medio de químicos, la experimentación se simplifico notablemente. Poco tiempo después de Volta se hicieron importantes descubrimientos. En 1820 Oersted relacionó el campo magnético con la corriente y Ampére midió la fuerza producida por la corriente. En 1831 Faraday y, de un modo independiente, Henry, descubrieron la inducción eléctrica. En 1873 el físico inglés James Clerk Maxwell reunió éstos y otros experimentos para formar un esquema conceptual propiamente dicho. En las ecuaciones de Maxwell, como se conoce este esquema, se explican todos los fenómenos eléctricos y magnéticos de acuerdo con los campos que producen la carga y la corriente. El éxito del esquema conceptual de Maxwell se corrobora, ya que los resultados deducidos de las ecuaciones de Maxwell, concuerdan con las observaciones realizadas en un periodo de más de 100 años.

      En vista del éxito de Maxwell, ¿por qué es necesario embarcarse ahora en el estudio de otro esquema conceptual para los mismos fenómenos, o sea, el circuito eléctrico? Y lo que también es importante, ¿cómo se relacionan los conceptos? La respuesta a la primera de estas preguntas está en la utilidad práctica del concepto de circuito. Como cuestión práctica, a menudo el interés reside no tanto en los campos como en voltajes y corrientes. El concepto de circuito favorece el análisis hecho en función del voltaje y la corriente a partir de las cuales se pueden calcular, si se desea, otras cantidades –tales como carga, campos, energía, potencia, etc. La segunda pregunta requiere una contestación más amplia, así como una justificación. En resumen, los conceptos de circuito se fundamentan en los mismos hechos experimentales básicos que las que las ecuaciones de Maxwell. Sin embargo, el circuito incluye aproximaciones que no están comprometidas en el concepto más general de la teoría del campo. Es importante que se comprenda la naturaleza de estas aproximaciones – las limitaciones de la teoría de circuitos antes de desarrollar el tema.

      Conviene definir la función de circuitos conforme a dos bloques básicos: carga y energía. La carga y la energía se pueden considerar como los mínimos comunes denominadores para describir los fenómenos eléctricos, cantidades primitivas en función de las cuales se puede desarrollar el esquema conceptual del circuito eléctrico. Un circuito físico es un sistema de aparatos interconectados. Aquí, vocablo aparato incluye fuentes de energía, alambres de conexión, componentes, cargar, etc. Un circuito transfiere y transforma energía; la transferencia de energía se logra mediante la transferencia de cargas. En el circuito, la energía se transfiere de un punto de suministro (la fuente) hasta un punto de transformación o conversión denominado carga (o sumidero) en este proceso, se puede almacenar energía.

       

       

      1 James B. Conant, Science and Common Sense (Yale University Press, Nueva Haven, Conn. 1951)

    2. CARGA Y ENERGÍA
Al griego Tales de Mileto se le atribuye haber descubierto, aproximadamente en el año 600 antes de Cristo que cuando se frota con fuerza ámbar con un trozo de seda o piel, el ámbar se "electrifica" y atrae pequeños trozos de hilo. Siglos más tarde, Coulumb utilizó en Francia (y por su parte, Cavendish, en Inglaterra) esta misma técnica de producir electricidad, para establecer la ley de la inversa de los cuadrados en la atracción de cuerpos cargados.

El conocimiento actual de la naturaleza de la carga se basa en el esquema conceptual de la teoría atómica. El átomo se representa como un núcleo cargado positivamente, que está rodeado por electrones de carga negativa. En el átomo neutro, la carga total del núcleo es igual a la carga total de los electrones. Cuando se quitan electrones a una substancia, ésta queda cargada positivamente. Una substancia que tiene un exceso de electrones tiene una carga negativa.

La unidad básica de carga es el electrón. La unidad MKS de carga es el coulomb. El electrón tiene una carga de  coulombs.

El fenómeno de la transferencia de carga de un punto de un circuito a otro se describe mediante el término corriente eléctrica. La corriente eléctrica se puede definir como la rapidez con la que la carga eléctrica se transfiere a través de un corte transversal del conductor. Un movimiento desordenado de los electrones dentro de un metal no constituye una corriente a menos que se tenga una transferencia neta de carga con el tiempo.

Expresada como ecuación, la corriente2 es

(1-1)

2 El símbolo i de la corriente se debe al vocablo francés intensité.

Si la carga q se mide en coulombs y el tiempo t se mide en segundos, la corriente se mide en amperes (en honor del físico francés André Ampére). Puesto que el electrón tiene una carga de  coulombs, se infiere que una corriente de 1 amp corresponde al movimiento de  electrones que pasan por cualquier sección transversal de una trayectoria, en 1 segundo.

En algunos materiales existen muchos electrones libres, de manera que se pueden obtener con facilodad corrientes intensas. Esos materiales se denominan conductores. La mayoría de los metales y algunos líquidos son buenos conductores. Los materiales que tienen relativamente pocos electrones libres se conocen como aislantes. Entre los materiales aislantes más comunes están el vidrio, la mica, los plásticos, etcétera. Hay otros materiales llamados semiconductores que tienen un papel importante en la electrónica. Los semiconductores más comunes son el germanio y el silicio.

Se ha generalizado el concepto erróneo de que, puesto que algunas ondas eléctricas se propagan aproximadamente a la velocidad de la luz, los electrones se desplazan dentro del conductor con la misma velocidad. La velocidad media real del desplazamiento de los electrones libres es apenas de unos cuatro milímetros por segundo. (Véase el ejemplo numérico del problema 1-2.)

Otro esquema conceptual en el que se basa el razonamiento, es el de la conservación de la energía. Debido a la preparación adquirida en los métodos científicos, se sospecha inmediatamente de cualquier método que pretenda crear energía. La ley de conservación de la energía establece que ésta no se crea ni se destruye, sino que tan sólo se transforma. La energía eléctrica se obtiene a partir de la conversión de otra forma de energía. Existen varias maneras de lograr esto, entre las cuales están las que siguen:

 

  1. Conversión de energía electromecánica. El generador giratorio, diseñado según la invención de Faraday en 1831, produce energía eléctrica a partir de la energía mecánica de rotación. Por lo general, la energía mecánica se obtiene al convertir energía térmica por medio de una turbina; a su vez, la energía térmica se obtiene convirtiendo energía química mediante la combustión de un fósil o nuclear. En algunas ocasiones se obtiene por conversión de energía hidráulica mediante generadores hidroeléctricos.
  2. Conversión de energía electroquímica. Las baterías eléctricas producen energía por conversión de energía química. Un uso potencialmente importante de estas baterías es el del automóvil eléctrico. Las celdas de combustible se incluyen en esta clasificación general.
  3. Conversión de energía magnetohidrodinamica (MHD). Estos dispositivos generan energía eléctrica a partir de energía mecánica de un gas ionizado de alta velocidad.
  4. Conversión de energía fotovoltaica. Los dispositivos de esta clase pueden convertir directamente la energía luminosa en energía eléctrica. La celda solar es el dispositivo más conocido de este tipo.
La funcion de cada una de estas diferentes fuentes de energía eléctrica es la misma en lo que respecta a energía y carga. Por ejemplo, en una forma de batería se sumergen dos electrodos metálicos –uno de zinc y otro de cobre- en ácido sulfúrico diluido. La formación de iones de zinc y cobre hace que la carga negativa se acumule en los electrodos. Se obtiene energía mediante la diferencia en la energía de ionización del zinc y el cobre dentro de la reacción química. Al cerrarse el circuito de la batería mediante una conexión externa, como se indica en la figura 1-2; la energía química se gasta como trabajo para cada unidad de carga al transportar la carga alrededor del circuito externo. La cantidad "energía por unidad de carga" o, lo que es lo mismo, "trabajo por unidad de carga" recibe el nombre de voltaje. En forma de ecuación se expresa como sigue,
  (1-2)
 Si w es el trabajo (o energía) en joules y q es la carga en coulombs, el voltaje v se mide en volts (en honor de Alessandro Volta). El voltaje de una fuente de energía se describe a veces por medio de término fuerza electromotriz, cuya abreviatura es fem en los textos de electricidad. Aquí no se denomina fuerza al voltaje porque esto puede conducir a errores.

Si a una cantidad diferencial de carga dq se le da un incremento diferencia de energía dw, el potencial de la carga se incrementa por la cantidad

  (1-3)
Si este potencial se multiplica por la corriente, , como sigue,
(1-4)
Se puede ver que el resultado es una rapidez de cambio de energía que es la potencia p. Por tanto, la potencia es el producto del potencial y la corriente,
(1-5)
La energía, como función de la potencia, se encuentra integrando la ecuación (1-4). En consecuencia, la energía total en cualquier tiempo dado t es la integral
(1-6)
El cambio de energía del tiempo t1 al tiempo t2 se puede encontrar del mismo modo integrando desde t1 hasta t2 . 3

3 La ecuación (1-6) y las que siguen se pueden escribir en función de la variable ficticia x, como 

El uso de t para indicar dos cosas en una ecuación no debe infundir confusión.

    1. LA RELACION DE LOS CONCEPTOS DE CAMPO Y DE CIRCUITO
  Al desarrollar el esquema conceptual de circuito se seguirán tres etapas idénticas para cada uno de los tres parámetros. Estas etapas son:
  1. El fenómeno físico. Se vera en forma cuantitativa un fenómeno eléctrico que se observa por experimentación. Esto se hará en función de carga y energía.
  2. Interpretación del campo. A continuación se analizará la interpretación del fenómeno de acuerdo con una cantidad de campo.
  3. Interpretación del circuito. Por último, se introducirá un parámtro de un circuito para relacionar el voltaje y la corriente en vez de la relación de campo.
 

 

    1. EL PARAMETRO CAPACITANCIA
 

(1) Fenómeno físico. La presencia de carga en dos substancias espacialmente separadas –por ejemplo, la que aparece en la figura 1-3- da origen a una "acción a una distancia" en la forma de una fuerza entre ambas substancias. Este fenómeno se considera una propiedad de la naturaleza, es decir un hecho experimental básico. Coulomb encontró que esta fuerza era de tal índole "que las cargas de mismo signo se repelen" y "las cargas de signo contrario se atraen" y que la fuerza varía de acuerdo con la ecuación

(1-7)
En esta ecuación, F es la fuerza en newtons dirigida de una carga puntual a otra carga puntual, r es la separación de las cargas puntuales en metros,  es la permitividad que tiene un valor para el espacio libre de  farad por metro en el sistema MKS y  y  son las cargas medidas en coulombs. Se debe entender que esta ecuación se aplica estrictamente a las cargas puntuales. No obstante, la ecuación se puede aplicar a cualquier distribución de cargas mediante la suma vectorial de todas las fuerzas.

(2) Interpretación de campo. Este fenómeno se puede describir en términos de una fuerza sobre una unidad de carga situada entre dos cuerpos cargados. Esta fuerza por unidad de carga, es una cantidad vectorial, ya que la fuerza es una cantidad vectorial; se denomina campo eléctrico de valor

(1-8)
Como ayuda conceptual, este campo se puede representar por medio de líneas trazadas en el sentido de la fuerza que se ejercería sobre la unidad de carga positiva exploradora en cada punto. Estas líneas se ilustran en la figura 1-4. Tales líneas son ayudas conceptuales: no se debe pensar que existen en realidad. El campo eléctrico se puede evaluar para cualquier problema en particular aplicando las ecuaciones (1-7) y (1-8).

(3) Interpretación de circuitos. El campo eléctrico E de la ecuación (1-8) existirá entre conductores cargados de forma arbitraria. Como caso especial, véanse los conductores de placa paralela que aparecen en la figura 1-4. Supóngase que las placas de área K son lo suficientemente grandes para que se pueda despreciar la deformación de campo en los extremos de ellas. Sea la carga en la placa superior o igual a q. La densidad de carga en la placa será q/A. De acuerdo con la ley de Gauss,

(1-9)
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