COMPENSACION DE LOS SISTEMAS DE CONTROL

 

La compensación es la modificación de la dinámica de un sistema, realizada para satisfacer las especificaciones determinadas.

 

 

Especificaciones de desempeño.

 

Los sistemas de control se diseñan para realizar tareas específicas. Los requerimientos impuestos sobre el sistema de control se detallan como especificaciones de desempeño. Por lo general se refieren a la precisión, la estabilidad relativa y a la velocidad de respuesta.

Por lo general, las especificaciones de desempeño no deben ser más rigurosas de lo necesario para efectuar la tarea definida. Si la precisión de una operación de un  estado estable es de importancia vital para un determinado sistema de control, no debemos solicitar especificaciones de desempeño más rígidas de lo necesario sobre la respuesta transitoria, dado que tales especificaciones requerirían de componentes costosos.

 

 

Compensadores.

 

Si se necesita un compensador para cumplir las especificaciones de desempeño, el diseñador debe plantear un dispositivo físico que tenga prescrita la función de transferencia del compensador.

Entre los muchos tipos de compensadores, los de mayor uso son los compensadores de adelanto, los de atraso, los de atraso-adelanto y los de realimentación de velocidad (tacómetros).

Los compensadores de adelanto, de atraso y de atraso-adelanto pueden ser dispositivos electrónicos tales como circuitos que usen amplificadores operacionales, redes RC eléctricas, mecánicas, neumáticas, hidráulicas o una combinación de ellas, o, amplificadores.

En el diseño real de un sistema de control, el que se use un compensador electrónico, neumático o hidráulico debe decidirse parcialmente con base en la naturaleza de la planta que se controla.

 

 

Procedimientos de diseño.

 

En el enfoque de prueba y error para el diseño de un sistema, se prepara un modelo matemático del sistema de control y se ajustan los parámetros de un compensador.

Una vez obtenido un modelo matemático satisfactorio, el diseñador debe construir un prototipo y probar el sistema en lazo abierto. Si se asegura la estabilidad absoluta en lazo abierto, el diseñador cierra el lazo y prueba el desempeño del sistema en lazo cerrado resultante.

Al desarrollar un sistema de control, sabemos que la modificación adecuada de la dinámica de la planta puede ser una forma sencilla de cumplir las especificaciones de desempeño. Sin embargo, tal vez esto no sea posible en muchas situaciones prácticas, debido a que la planta esté fija y no pueda modificarse. En este caso, deben ajustarse parámetros diferentes a los que tiene la planta fija. Aquí en este trabajo solo supondremos que la planta está definida y es inalterable.

Por tanto, los problemas de diseño son aquellos que implican la mejora del desempeño de un sistema mediante la inserción de un compensador. La compensación de un sistema de control se reduce al diseño de un filtro cuyas características tiendan a compensar las características inconvenientes o inalterables de la planta. Nuestro análisis se limita a los compensadores en tiempo continuo.

 

 

Enfoque del lugar geométrico de las raíces para el diseño de un sistema de control.

 

El método del LGR es un enfoque gráfico que permite determinar las ubicaciones de todos los polos en lazo cerrado a partir de la ubicaciones de los polos y ceros en lazo abierto conforme algún parámetro (por lo general la ganancia) varía de cero a infinito. El método produce un indicio claro de los efectos del ajuste del parámetro.

En la práctica, una gráfica de LGR de un sistema indica que el desempeño deseado no puede obtenerse con sólo el ajuste de la ganancia. De hecho, en algunos casos, tal vez el sistema no sea estable para todos los valores de ganancia. En este caso, es necesario volver a construir los lugares geométricos de la raíces para cumplir con las especificaciones de desempeño.

 

 

COMPENSACION DE ADELANTO

 

Existen muchas formas de obtener compensadores de adelanto en tiempo continuo, tales como redes electrónicas que usan amplificadores operacionales, redes RC eléctricas y sistemas de amortiguadores mecánicos.

 

La figura muestra un circuito electrónico que usa amplificadores operacionales que consiste en una red de adelanto si  y en una red de atraso si .

 

 

COMPENSACION DE ATRASO

 

La configuración del compensador de atraso electrónico usando amplificadores operacionales es la misma que la del compensador de adelanto eligiendo  en el circuito de la figura anterior.

 

 

COMPENSACION DE ATRASO-ADELANTO

 

La compensación de adelanto básicamente acelera la respuesta e incrementa la estabilidad del sistema. La compensación de atraso mejora la precisión de estado estable del sistema, pero reduce la velocidad de la respuesta.

Si se desea mejorar tanto la respuesta transitoria como la respuesta de estado estable, debe usarse en forma simultánea un compensador de adelanto y un compensador de atraso. Sin embargo, en lugar de introducir un compensador de adelanto y un compensador de atraso, ambos como elementos separados, es más económico sólo usar un compensador de atraso-adelanto.

La compensación de atraso-adelanto combina las ventajas de las compensaciones de atraso y adelanto. Dado que el compensador de atraso-adelanto posee dos polos y dos ceros, tal compensación aumenta en dos el orden del sistema, a menos que ocurra una cancelación de polos y ceros en el sistema compensado.

 

La figura muestra un compensador electrónico de atraso-adelanto que usa amplificadores operacionales.

                                                                  Red de atraso-adelanto.                     Inversor de signo.

 

 

TECNICAS DE COMPENSACION DE ADELANTO BASADAS EN EL ENFOQUE DEL LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAICES

 

El enfoque del lugar geométrico de las raíces es muy poderoso en el diseño cuando se incorporan las especificaciones en términos de las cantidades en el dominio del tiempo, tales como el factor de amortiguamiento relativo y la frecuencia natural no amortiguada de los polos dominantes en lazo cerrado, el sobrepaso máximo, el tiempo de levantamiento y el tiempo de asentamiento.

Considere un problema de diseño tal que el sistema original sea inestable para todos los valores de ganancia o estable pero con características inconvenientes de la respuesta transitoria. En este caso, es necesario volver a construir el lugar geométrico de las raíces en la vecindad amplia del eje  y el origen para que los polos dominantes en lazo cerrado estén en las posiciones deseadas en el plano complejo. Este problema se soluciona insertando un compensador de adelanto apropiado en cascada con la función de transferencia de la trayectoria directa.

 

Los procedimientos para diseñar un compensador de adelanto para el sistema que se muestra mediante el lugar geométrico de las raíces se plantean del modo siguiente:

ü      A partir de las especificaciones de desempeño, determine la ubicación deseada para los polos dominantes en lazo cerrado.

ü      Por medio de una grafica del lugar geométrico de las raíces, compruebe si el ajuste de la ganancia puede o no por sí solo producir los polos en lazo cerrado convenientes. Si no, calcule la deficiencia del ángulo . Este ángulo debe ser una contribución del compensador de adelanto si el nuevo lugar geométrico de las raíces va a pasar por las ubicaciones deseadas para los polos dominantes en lazo cerrado.

ü      Suponga que el compensador de adelanto  es:

en donde  y  se determinan a partir de la diferencia del ángulo.  se determina a partir del requerimiento de la ganancia en lazo abierto.

ü      Si no se especifican las constantes de error estático, determine la ubicación del polo y del cero del compensador de adelanto, para que el compensador de adelanto contribuya al ángulo  necesario. Si no se imponen otros requerimientos sobre el sistema, intente aumentar lo más posible el valor de . Un valor mas grande de  por lo general produce un valor más grande de , lo cual es conveniente. (Si se especifica una constante de error estático, por lo general es más sencillo usar el enfoque de la respuesta en frecuencia).

ü      Determine la ganancia en lazo abierto del sistema compensado a partir de la condición de magnitud.

 

Una vez diseñado un compensador, verifique que se hayan cumplido todas las especificaciones de desempeño. Si el sistema no cumple las especificaciones de desempeño, repita el procedimiento de diseño ajustando el polo y el cero del compensador hasta cumplir con todas las especificaciones. Si se requiere de constante de error estático grande, enlace en cascada una red de atraso o convierta el compensador de adelanto en un compensador de atraso-adelanto.

Observe que, si los polos dominantes en lazo cerrado seleccionados no son realmente dominantes, será necesario modificar la ubicación del par de polos dominantes en lazo cerrado seleccionados.

 

Considere el sistema de la figura siguiente en donde la FDT de la trayectoria directa es:

La función de transferencia en lazo cerrado se convierte en:

Los polos en lazo cerrado se ubican en:    

El factor de amortiguamiento relativo de los polos en lazo cerrado es 0.5. La frecuencia natural no amortiguada de los polos en lazo cerrado es 2rad/seg. La constante de error estática de velocidad es 2 seg-1.

Se pretenden modificar los polos en lazo cerrado para obtener la frecuencia natural no amortiguada  sin cambiar el valor del factor de amortiguamiento relativo,

Tenga en cuenta que, en el plano complejo, el factor de amortiguamiento relativo  de un par de polos complejos conjugados se expresa en términos del ángulo , que se mide a partir del eje , con .

 El factor de amortiguamiento relativo determina la ubicación angular de los polos, en tanto que la distancia del polo al origen la determina la frecuencia natural no amortiguada . En el ejemplo actual, las ubicaciones deseadas de los polos en lazo cerrado son: .

Después de obtenidos los lugares geométricos de las raíces del sistema original, los polos dominantes en lazo cerrado se mueven a la ubicación deseada con un simple ajuste de la ganancia. Sin embargo, esto no ocurre en el sistema actual. Por tanto, insertaremos un compensador de adelanto en la trayectoria directa.

 

El siguiente es un procedimiento general para determinar el compensador de adelanto: primero, encuentre la suma de los ángulos en la ubicación deseada de uno de los polos dominantes en lazo cerrado con los polos y ceros en lazo abierto del sistema original, y determine el ángulo necesario  que se va a agregar para que la suma total de los ángulos sea igual a . El compensador de adelanto debe contribuir a este ángulo .

El paso siguiente es determinar las ubicaciones del cero y el polo del compensador de adelanto.

Podemos colocar el cero del compensador en  y el polo en  para que la contribución del ángulo del compensador de adelanto sea de 30o. (En este caso, el cero del compensador de adelanto cancelará un polo de la planta, produciendo un sistema de segundo orden, en lugar del sistema de tercer orden que hemos diseñado.)

En el sistema actual, el ángulo de  del polo en lazo cerrado deseado es:

Por tanto, si necesitamos obligar al lugar geométrico de las raíces a que pase por el polo en lazo cerrado deseado, el compensador de adelanto debe contribuir con  en este punto.

Determinamos el cero y el polo del compensador de adelanto como:

Cero en      Polo en      o bien      

Por tanto, . La función de transferencia en lazo abierto del sistema se convierte en:    

En donde . La ganancia  se calcula a partir de la condición de magnitud del modo siguiente:  o bien

Con lo cual se deduce que:

La constante  del compensador de adelanto es:

Por tanto, . En este caso, el compensador de adelanto tiene la función de transferencia

Si el circuito electrónico con amplificadores operacionales se usa como el compensador de adelanto que se acaba de diseñar, los valores de parámetro del compensador de adelanto se determinan a partir de:

tal como se aprecia en la figura, en donde hemos elegido arbitrariamente  y .

La constante de error estático de velocidad  se obtiene a partir de la expresión:

Observe que el tercer polo en lazo cerrado del sistema diseñado se obtiene si se divide la ecuación característica entre los factores conocidos, del modo siguiente:

El método de compensación anterior nos permite colocar los polos dominantes en lazo cerrado en los puntos deseados del plano complejo. El tercer polo en  está cerca del cero agregado en . Por tanto, el efecto de este polo sobre la respuesta transitoria es relativamente pequeño. Dado que no se ha impuesto una restricción sobre el polo no dominante y no se ha definido una especificación relacionada con el valor del coeficiente estático de velocidad, concluimos que el diseño actual es satisfactorio.

 

A continuación examinaremos las respuestas escalón unitario de los sistemas compensados y no compensados con MATLAB.

La función de transferencia en lazo cerrado del sistema compensado es:

En este caso,

              numc=[0 0 18.7 54.23]

              denc=[1 7.4 29.5 54.23]

 

Para el sistema no compensado, la función de transferencia en lazo cerrado es:

Por tanto.

              num=[0 0 4]

              den=[1 2 4]

 

numc=[0 0 18.7 54.23];

denc=[1 7.4 29.5 54.23];

num=[0 0 4];

den=[1 2 4];

t=0:0.05:5;

[c1,x1,t]=step(numc,denc,t);

[c2,x2,t]=step(num,den,t);

plot(t,c1,t,c1,'o',t,c2,t,c2,'x')

grid

title('Respuestas escalón unitario de los sistemas compensado y no compensado')

xlabel('t Seg')

ylabel('Salidas c1 y c2')

text(0.6,1.32,'Sistema compensado')

text(1.3,0.68,'Sistema no compensado')

 

 

TECNICAS DE COMPENSACION DE ATRASO BASADAS EN EL ENFOQUE DEL LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAICES

 

El procedimiento para diseñar compensadores de atraso para el sistema de la figura mediante el método del lugar geométrico de las raíces se plantea del modo siguiente:

ü     Dibuje la grafica del lugar geométrico de las raíces para el sistema no compensado, cuya función de transferencia en lazo abierto sea . Con base en las especificaciones de la respuesta transitoria, ubique los polos dominantes en lazo cerrado en el lugar geométrico de las raíces.

ü     Suponga que la función de transferencia del compensador de atraso es:

Así, la función de transferencia en lazo abierto del sistema compensado se convierte en .

ü     Calcule LA constante de error estático especificada en el problema.

ü     Determine el incremento necesario en la constante de error estático para satisfacer las especificaciones.

ü     Determine el polo y el cero del compensador de atraso que producen el incremento necesario en la constante de error estático determinado sin alterar apreciablemente los lugares geométricos de las raíces originales.

ü     Dibuje una nueva grafica del lugar geométrico de las raíces para el sistema no compensado. Localice los polos dominantes en lazo cerrado deseados sobre el lugar geométrico de las raíces.

ü     Ajuste la ganancia  del compensador a partir de la condición de magnitud, a fin de que los polos dominantes en lazo cerrado se encuentren en la ubicación deseada.

 

 

METODO DE NYQUIST PARA DETERMINAR LA ESTABILIDAD DE UN SISTEMA

 

 Si la trayectoria de Nyquist en el plano  encierra  ceros y   polos de  y no pasa por los polos ni los ceros de  conforme un punto representativo  se mueve en sentido de las manecillas del reloj a lo largo de la trayectoria de Nyquist, el contorno correspondiente en el plano  encierra en un círculo  veces el punto  en sentido de las manecillas del reloj. (Los valores negativos de  implican encierros en sentido contrario de las manecillas del reloj).

 

Al examinar la estabilidad de los sistemas de control lineales mediante el criterio de estabilidad de Nyquist, vemos que se pueden presentar tres posibilidades.

 

1.     El punto  no está encerrado. Esto implica que el sistema es estable si no hay polos de  en el semiplano derecho del plano ; de lo contrario, el sistema es inestable.

2.     El punto  queda encerrado una o varias veces en sentido contrario de las manecillas del reloj. En este caso, el sistema es estable si la cantidad de encierros en sentido contrario de las manecillas del reloj es igual a la cantidad de polos  en el semiplano derecho del plano ; de lo contrario, el sistema es inestable.

3.     El punto  queda encerrado una o varias veces en sentido de las manecillas del reloj. En este caso el sistema es inestable.

 

 

     Criterio de estabilidad de Nyquist: [Para un caso especial cuando  no tiene polos ni ceros sobre el eje .]:

 

En el sistema de la figura, si la función de transferencia en lazo abierto  tiene  polos en el semiplano derecho del plano  y   constante, para la estabilidad, el lugar geométrico , conforme  varia de  a , debe encerrar  veces el punto  en sentido contrario a las manecillas del reloj.

Este criterio se expresa como  en donde:

 al número de ceros de  en el semiplano derecho del plano .

 al número de encierros en el sentido de las manecillas del reloj del punto .

 al número de polos de  en el semiplano derecho del plano .

 

Si  no es cero, para un sistema de control estable, debemos tener  o , lo cual significa que debemos tener  encierros del punto  en el sentido de las manecillas del reloj.

Si  no tiene polos en el semiplano derecho del plano , entonces . Por tanto, para la estabilidad no se debe encerrar el punto  mediante el lugar geométrico . En este caso no es necesario considerar el lugar geométrico para el eje  completo, sino sólo para la parte de frecuencia positiva. La estabilidad de este sistema se determina observando si el punto  se encierra mediante la traza de  Nyquist de .

 

Debe tenerse cuidado en el momento de probar la estabilidad de sistemas multilazo, dado que pueden incluir polos en el semiplano derecho del plano . Una simple revisión de los encierros del punto  mediante el lugar geométrico  no es suficiente para detectar la inestabilidad en los sistemas multilazo. Sin embargo, en tales casos, si un polo de  está en el semiplano derecho del plano , se determina con facilidad aplicando el criterio de estabilidad de Routh al denominador de .

 

Si el lugar geométrico de  pasa por el punto , entonces los ceros de la ecuación característica, o los polos en lazo cerrado, se ubican sobre el eje . Esto no es conveniente para sistemas de control prácticos. Para un sistema en lazo cerrado bien diseñado, ninguna de las raíces de la ecuación característica debe encontrarse sobre el eje .

 

 

     Criterio de estabilidad de Nyquist: [Para un caso general cuando  tiene polos y/o ceros sobre el eje .]:

 

Para la misma figura, si la función de transferencia en lazo abierto  tiene  polos en el semiplano derecho del plano , para ser estable, el lugar geométrico  debe encerrar  veces el punto  en sentido contrario a las manecillas del reloj, conforme un punto representativo  se traza en la trayectoria de Nyquist modificada en sentido de las manecillas del reloj.

 

I N I C I O