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 a. Resolución del problema cinematico directo mediante matrices de transformación homogénea.

La resolución del problema cinematico directo consiste en encontrar las relaciones que permiten conocer la localización espacial del extremo del robot a partir de los valores de sus coordenadas articulares.


Así, si se han escogido coordenadas cartesianas y ángulos de Euler para representar la posición y orientación del extremo de un robot de seis grados de libertad, la solución al problema cinematico directo vendrá dada por las relaciones:

x =  Fx  (  q1,q2,q3,q4,q5,q6 )
y =   Fy  (  q1,q2,q3,q4,q5,q6 )
z =   Fz  (  q1,q2,q3,q4,q5,q6 )
a =   Fa  (  q1,q2,q3,q4,q5,q6 )
ß =     (  q1,q2,q3,q4,q5,q6 )
g =   Fg  (  q1,q2,q3,q4,q5,q6 )

La obtención de estas relaciones no es en general complicada, siendo incluso en ciertos casos (robots de pocos grados de libertad) fácil de encontrar mediante simples consideraciones geométricas. Por ejemplo, para el caso de un robot con 2 grados de libertad es fácil comprobar que:

X  =  I1 cosq1  +  I2 cos( q1 + q2 )
y  =  I1 cosq1  +  I2 cos( q1 + q2 )

Para robots de mas grados de libertad puede plantearse un método sistemático basado en la utilización de las matrices de transformación homogénea.
En general, un robot de n grados de libertad esta formado por n eslabones unidos por n articulaciones, de forma que cada par articulación-eslabón constituye un grado de libertad. A cada eslabón se le puede asociar un sistema de referencia solidario a el y, utilizando las transformaciones homogéneas, es posible representar las rotaciones y traslaciones relativas entre los distintos eslabones que componen el robot.

 Normalmente, la matriz de transformación homogénea que representa la posición y orientación relativa entre los sistemas asociados a dos eslabones consecutivos del robot se le suele denominar ( i-1)1/Ai. Así pues, 0Ai describe la posición y orientación del sistema de referencia solidario al primer eslabón con respecto al sistema de referencia solidario a la base, 1A2 describe la posición y orientación del segundo eslabón respecto del primero, etc. Del mismo modo, denominando 0Ak a las matrices resultantes del producto de las matrices ( i-1)Ai con i desde 1 hasta k, se puede representar de forma total o parcial la cadena cinemática que forma el robot. Así, por ejemplo, la posición y orientación del sistema solidario con el segundo eslabón del robot con respecto al sistema de coordenadas de la base se puede expresar mediante la matriz 0A2:

0A2  =  0A1 ( 1A2 )

De manera análoga, la matriz 0A3 representa la localización del sistema del tercer eslabón:

0A3  =  0A1 ( 1A2 )( 2A3 )

Cuando se consideran todos los grados de libertad, a la matriz 0An se le suele denominar T. Así, dado un robot de seis grados de libertad, se tiene que la posición y orientación del eslabón final vendrá dada por la matriz T:

T  =  0A6  =  0A1 ( 1A2 )( 2A3 )( 3A4 )( 4A5 )( 5A6 )

Aunque para descubrir la relación que existe entre dos elementos contiguos se puede hacer uso de cualquier sistema de referencia ligado a cada elemento, la forma habitual que se suele utilizar en robótica es la representación de Denavit-Hartenberg.

 Denavit-Hartenberg propusieron en 1955 un método matricial que permite establecer de manera sistemática un sistema de coordenadas (Si) ligado a cada eslabón i de una cadena articulada, pudiéndose determinar a continuación las ecuaciones cinemáticas de la cadena completa.


Según la representación D-H, escogiendo adecuadamente los sistemas de coordenadas asociados para cada eslabón, será posible pasar de uno al siguiente mediante 4 transformaciones básicas que dependen exclusivamente de las características geométricas del eslabón.
Estas transformaciones básicas consisten en una sucesión de rotaciones y traslaciones que permitan relacionar el sistema de referencia del elemento i con el sistema del elemento i-1. Las transformaciones en cuestión son las siguientes:

  1. Rotación alrededor del eje Zi-1 un ángulo qi.
  2. Traslación a lo largo de Zi-1 una distancia di; vector di ( 0,0,di ).
  3. Traslación a lo largo de Xi una distancia ai; vector ai ( 0,0,ai ).
  4. Rotación alrededor del eje Xi, un ángulo ai.

Dado que el producto de matrices no es conmutativo, las transformaciones se han de realizar en el orden indicado. De este modo se tiene que:

i-1A i =  T( z,qi  ) T( 0,0,di ) T ( ai,0,0 ) T( x,ai )

Y realizando el producto de matrices:

donde qi, ai, di, ai, son los parámetros D-H del eslabón i. De este modo, basta con identificar los parámetros qi, ai, di, ai , para obtener matrices A y relacionar así todos y cada uno de los eslabones del robot.
Como se ha indicado, para que la matriz i-1Ai, relacione los sistemas (Si) y (Si-1), es necesario que los sistemas se hayan escogido de acuerdo a unas determinadas normas. Estas, junto con la definición de los 4 parámetros de Denavit-Hartenberg, conforman el siguiente algoritmo para la resolución del problema cinematico directo.

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