REGLAS DE SIMPSON.
Además de aplicar la regla trapezoidal
con segmentos cada vez más finos, otra manera de obtener una estimación
más exacta de una integral, es la de usar polinomios de orden superior
para conectar los puntos.
A las fórmulas resultantes de calcular la
integral bajo estos polinomios se les llama reglas de Simpson.
REGLA DE
SIMPSON DE 1/3.
La regla de Simpson de 1/3 resulta cuando se sustituye
un polinomio de segundo orden en la ecuación:
Si a y b se denominan como x0 y x2 , y f2 (x) se representa mediante
un polinomio de Lagrange de segundo orden, entonces la integral es:
Después de integrar y de reordenar términos, resulta la siguiente
ecuación:
REGLA DE SIMPSON
1/3
DE SEGMENTOS MULTIPLES.
Así como la regla trapezoidal, la regla de Simpson
se mejora dividiendo el intervalo de integración en segmentos de igual
anchura.
h=(b-a)/n
La integral total se representa como:
Sustituyendo la regla de Simpson en cada una de las integrales individuales
se obtiene:
reordenando los términos, se obtiene:
REGLA
DE SIMPSON DE 3/8.
De manera similar a la derivación de la regla
trapezoidal y a la regla de Simpson de 1/3, se ajustan polinomios de Lagrange
de tercer orden a cuatro puntos e integrar;
para obtener
En donde h=(b-a)/3. A esta ecuación se le llama regla de Simpson de
3/8 porque h es un múltiplo de 3/8. Esta es la tercera regla cerrada de
integración de Newton-Cotes.
REGLA
DE SIMPSON 3/8 MULTIPLES.
La regla de Simpson de 1/3 es, en general, el
método de preferencia ya que alcanza exactitud de tercer orden con tres
puntos en vez de los de cuatro puntos necesarios para la versión de 3/8.
No obstante, la regla de 3/8 tiene utilidad
en aplicaciones de segmentos múltiples cuando el número de segmentos
es impar.
Para una estimación de cinco segmentos una
alternativa es la de aplicar la regla de Simpson de 1/3 a los primeros
segmentos y la regla de Simpson de 3/8 a los últimos tres.
De esta manera, se obtiene una estimación
con exactitud de tercer orden a través del intervalo completo
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