Algebra Lineal

MATRICES Y SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES 

INTRODUCCION
Para el estudio de métodos numéricos es indispensable el conocimiento y manejo del álgebra lineal, ya que es la base en la solución de la gran mayoría de problemas que cotidianamente se presentan.

El programa que se utiliza para resolver métodos numéricos es el MATLAB; el cual se basa en operaciones de matrices y vectores; siendo esta otra de las razones para incluir el álgebra lineal en métodos numéricos.

El objetivo principal de este trabajo es comprender la parte básica del álgebra lineal como lo es la teoría de matrices y la solución de sistemas de ecuaciones lineales mediante varios métodos.

Una vez explicada la teoría, se resolverán problemas, relacionados con el tema, en el MATLAB; escribiendo tanto el planteamiento del problema como su programa para MATLAB.

En este trabajo se comienza explicando como se realizan las operaciones básicas entre matrices y vectores, tales como suma, resta, multiplicación, inversa, etc.; para dar paso a la solución de sistemas de ecuaciones lineales mediante varios métodos como lo son mediante:
 

Al final del trabajo se citan problemas y se resuelven con MATLAB utilizando los diferentes métodos que se mencionan en la teoría.

También se adiciona el programa que corre bajo MATLAB del cual se obtuvieron los resultados que aquí se citan.
 


T E O R I A 

MATRICES Y VECTORES
Una matriz es un arreglo rectangular de números, llamados elementos, ordenados de tal manera que cuente con "m" filas y "n" columnas.

Los elementos pueden ser números reales o complejos. Para definir un elemento dentro de una matriz se utiliza una notación con doble subíndice, por ejemplo:

Así el elemento será aquel localizado en la fila "i" y en la columna "j".

Los vectores son formas especiales de las matrices. Si m > 1, pero n = 1, la matriz se convierte en:

Con una sola columna, y se denomina vector columna.

Pero si la matriz es de m = 1 y n > 1 se convierte en vector fila.

Cuando solo hay una columna o una sola fila no es necesario utilizar dos subíndices, con un solo subíndice es suficiente.

En otro caso especial donde m = n = 1, la matriz de 1 x 1 se denomina escalar.

A continuación se numeran algunas definiciones de matrices importantes dentro del álgebra lineal.

MATRIZ CUADRADA:
Es una matriz donde m = n, se llama simplemente de "n x n".

MATRIZ NULA:
Todos los elementos de la matriz son cero.

MATRIZ IDENTIDAD:
Es una matriz cuadrada donde todos los elementos de la diagonal principal son "1"; mientras que todos los demás elementos son cero.

Esto es:

MATRIZ TRANSPUESTA:
La transpuesta de una matriz se obtiene intercambiando las filas en el lugar de las columnas y las columnas en el lugar de las filas. Así si,.

Por ejemplo:

 
 

MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR:
Es una matriz cuadrada, donde los elementos por abajo de la diagonal principal son ceros, esto es:

 

MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR:
Es una matriz cuadrada en la que los elementos por arriba de la diagonal superior son cero; esto es:

 

 


OPERACIONES ENTRE VECTORES Y MATRICES 

SUMA Y RESTA:
Podemos sumar una matriz a otra o restarla de otra si ambas tienen el mismo tamaño (mismo número de columnas y filas). Como los vectores son una forma especial de matrices, las mismas reglas se aplican a los vectores. Sea
 

 

la suma y resta de matrices del mismo tamaño esta definida por:

donde es una matriz con

ejemplo:

 
 


PRODUCTO VECTORIAL Y MATRICIAL
Sea;
 
dos n-vectores;

entonces el producto de (producto escalar), esta dado por:
 

Debido a la notación empleada , el producto escalar de dos vectores a menudo recibe el nombre de producto punto o producto interno de los vectores. Se puede advertir fácilmente que el producto escalar de dos n-vectores es un escalar. A fin de que se puede hacer el cálculo del producto escalar de A y B es necesario que A y B tengan el mismo número de componentes.

El producto escalar entre vectores cumple con lo siguiente:

Sean a, b y c n-vectores y  un escalar. Entonces:

1.- 

2.-                           (Ley conmutativa del producto escalar)

3.- (Ley distributiva del producto escalar)

4.- 

PRODUCTO ENTRE DOS MATRICES:
Suponga que B y C son matrices. Si el número de columnas de A y el número de filas de B son idénticas, las matrices pueden multiplicarse como:

Donde es una matriz que representa el resultado de la multiplicación. Los elementos de C están relacionados con los de A y B por:

Dicho de otra forma, el elemento ij-ésimo de AB es igual al producto punto del i-ésimo renglón de A y la j-ésima columna de B. Es decir:
 

El número de filas de C es igual al de A, y el número de columnas de C es igual as de B. En otras palabras, si A es una matriz de p x q y B una matriz de q x r , entonces C es una matriz de p x r. Obviamente, si A y B son matrices cuadradas del mismo tamaño, C también será también una matriz cuadrada del mismo tamaño. Lo anterior es suficiente para deducir que el producto de AB no es igual a BA. Puede darse el caso especial donde AB = BA, a lo cual se dice que las matrices son conmutativas.

Ejemplo de productos entre matrices. Sea:
 

 

Encontrar C = AB
 

  
  
  

Obtenemos así que:

 

INVERSA DE UNA MATRIZ:
Sean A y B matrices de n x n, y suponiendo que la multiplicación AB = BA = Identidad, entonces la matriz B se le llama inversa de A, y se escribe. De esta manera:
 

De la definición anterior se deduce que, si A tiene inversa. Nosotros podemos conocer fácilmente si una matriz tiene inversa; basta con encontrar su determinante, y si resulta cero, no tiene inversa; cualquier otro número nos indica que tiene inversa.

Para encontrar la inversa de una matriz puede resultar un poco difícil, dependiendo del tamaño de la misma . Un ejemplo sencillo se muestra a continuación. Sea:
 

Encontrar la inversa de A o.

Si tomamos la definición de inversa encontramos que , entonces:
 

Resolviendo encontramos:

Igualando término a término, encontramos una serie de ecuaciones que al resolverlas obtenemos el resultado:

Sin embargo, este no es el método más adecuado, ya que por el método de eliminación de Gauss-Jordan es posible encontrar la inversa de una matriz más rápidamente (este método se verá más adelante).

INDEPENDENCIA LINEAL
Las columnas de una matriz A de dimensión (mxn) se puede escribir como (n) vectores columna, cada uno de (m) elementos, como a continuación
 

 

Los vectores columna son linealmente dependientes si existen escalares, no todos iguales a cero, tales que se cumple:

 

es decir que:

de lo contrario será linealmente dependiente.
 


SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES 

Consideremos un conjunto de "m" ecuaciones con "n" incógnitas dado por:



. . . . .
. . . . .
. . . . .

donde son coeficientes conocidos, son incógnitas y son términos conocidos que se denominan términos no homogéneos.

El sistema de ecuaciones lineales anteriores pueden expresarse de la forma compacta como:

donde A, x , y están definidos respectivamente por:
 

  

Resolver un sistema de ecuaciones es encontrar el valor de las incógnitas "x".

Una forma de resolver este sistema de ecuaciones es utilizando la formula multiplicándola por la matriz inversa de A por ambos lados de la igualdad; de la siguiente manera:

 
 
(I es la matriz identidad)

De esta manera encontramos que si calculamos la inversa de A y la multiplicamos por el vector "y", obtendremos el vector "x" con las soluciones al sistema de ecuaciones.

Los sistemas de ecuaciones pueden presentar tres casos:

Es el más común, ya que el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.

El número de ecuaciones es menor que el de incógnitas y tenemos lo que se conoce como problema subdeterminado.

El número de ecuaciones es mayor que es de incógnitas y tenemos lo que se conoce como problema sobredeterminado. Esto ocurre en el ajuste de rectas y curvas.

Un conjunto de ecuaciones lineales no siempre tiene solución numérica. Los siguientes tres conjuntos de ecuaciones son ejemplo de ello:

Ejemplo 1:

En este caso las dos rectas se encuentran en el mismo sitio por lo que la solución que satisface a una, también a la otra, teniendo así infinitas soluciones.

Ejemplo 2:

Las dos ecuaciones son líneas paralelas que nunca se interceptan, por lo que no existe una solución.

Ejemplo 3:

Tenemos tres ecuaciones independientes para dos incógnitas. Como se observa éstas tres ecuaciones nunca pueden satisfacerse simultáneamente.


DETERMINANTES
El determinante es una cantidad importante asociada a una matriz cuadrada. De hecho no podemos obtener una solución única de un conjunto no homogéneo de ecuaciones lineales si el determinante de la matriz de coeficientes es cero. Esto se debe a que, si por lo menos una ecuación de un conjunto de ecuaciones lineales no es linealmente independiente, el determinante es cero. Si el valor del determinante es extremadamente pequeño o grande, es señal de que hay errores graves en la solución de las ecuaciones. El determinante de una matriz también desempeña un papel importante cuando se calculan los valores propios de una matriz.

El determinante de una matriz A se denota como "det(A)". En el caso de una matriz de 2x2 el determinante de A se calcula:
 

Para una matriz de 3x3 existen varias formas de obtenerlo, pero una definición formal del determinante de una matriz A de orden n esta dada por:

Donde la sumatoria abarca todas las permutaciones del primer subíndice de a, y  es + si la permutación es par y - si es impar.

Si la matriz es una matriz triangular inferior o superior, o una matriz diagonal, el cálculo se simplifica mucho. El determinante de este tipo de matrices se calcula simplemente multiplicando los elementos de su diagonal principal.