DIREFENCIACIÓN NUMERICA.

A la ecuación 1 se le conoce con el nombre especial en el análisis numérico, se le llama diferencias divididas finitas.
 
Se puede representar generalmente como:
 

o
 

Donde al diferencial se le conoce como la primera diferencia hacia adelante y a h se le llama tamaño del paso, esto es, la longitud del intervalo sobre el cual se hace la aproximación.

Se le llama diferencia " hacia adelante " ya que usa los datos(i) e (i+1) para estimar la derivada.

Al termino completo (o sea, la diferencial entre h ) se le conoce como primera diferencia dividida finita.

Esta diferencia dividida hacia adelante no es sino una de tantas que se pueden desarrollar mediante la serie de Taylor para la aproximación de derivadas numéricas.

Por ejemplo, las aproximaciones a primeras derivadas, utilizando las diferencias hacia atrás o las diferencias centrales se pueden desarrollar de una manera similar a la de la ecuación 2.

Las primeras usan a , mientras x con sub-indice i+1 que las segundas usan información igualmente espaciada alrededor del punto donde esta estimada la derivada.

Las aproximaciones mas exactas de la primer derivada se pueden desarrollar incluyendo en la serie de Taylor términos de orden mas alto.

Finalmente, todas las versiones anteriores se pueden desarrollar para derivadas de segundo orden, tercer orden y ordenes superiores. Las siguientes secciones analizan brevemente estos casos, ilustrando como se deriva cada una de ellos.



APROXIMACION A LA PRIMERA DERIVADA
CON DIFERENCIAS HACIA ATRÁS.
La serie de Taylor se puede expandir hacia atrás para calcular un valor anterior sobre el valor actual, dada por:
 
Truncando la ecuación después de la primera derivada y ordenando los términos se obtiene:
 
Donde los errores es 0 (h) y el diferencial indica la primer diferencia dividida hacia atrás.



APROXIMACIONES A LA PRIMER DERIVADA CON DIFERENCIAS CENTRALES.
Una tercera forma de aproximar la primer derivada es restar la ecuación 4 de la expansión en serie de Taylor hacia adelante:
 
para obtener
 
que se puede resolver para
 
o
 
La ecuación 9 es una representación de las diferencias centrales ( o centradas )de la primera derivada.

Nótese que el error de truncamiento es del orden de en contraste con las diferencias divididas hacia adelante y hacia atrás, las cuales fueron de orden h.

Por lo tanto, el análisis de la serie de Taylor ha llevado a la información practica de que la diferencia central es la representación mas exacta de la derivada.

Por ejemplo, si se parte el tamaño del paso a la mitad usando diferencias hacia atrás o hacia adelante, el error se reducirá aproximadamente a la mitad, mientras que para diferencias centrales, el error se reduce a la cuarta parte.



APROXIMACIONES A DERIVADAS DE ORDEN MAS ALTO
USANDO DIFERENCIAS FINITAS.
Junta a la primera derivada, la expansión de la serie de Taylor se puede usar para una estimación numérica de las derivadas de orden superior.

Para hacerlo, se escribe una expansión en la serie de Taylor hacia adelante para en términos de de la siguiente forma:
 
 

La ecuación 8 se puede multiplicar por 2 y restarse de la ecuación 10 para obtener:
 
que se puede resolver para
 

A esta relación se le llama diferencias divididas finitas hacia adelante de segundo orden. Se pueden usar procedimientos similares para obtener las versiones hacia atrás y centrales.

Las aproximaciones a tercer orden de las diferencias divididas hacia adelante, hacia atrás y centrales también pueden obtenerse ( véase en fórmulas mas adelante ). En todos los casos, las diferencias centradas dan una mejor aproximación.



FORMULAS DE EXACTITUD PARA DIFERENCIAS
DE ORDEN SUPERIOR
Todas las estimaciones anteriores truncaron las estimaciones dadas por la serie de Taylor después de algunos términos.

Las fórmulas de mas exactitud se pueden desarrollar incluyendo términos adicionales. Por ejemplo, la expansión hacia adelante ( Ecuación 6 ) se puede resolver para:
 

En contraste con la ecuación 2, se puede retener el termino de segundo orden sustituyendo la ecuación 12 en la ecuación 13 para obtener:
 
agrupando términos
 
Nótese que la inclusión del termino con segunda derivada ha dado una exactitud .

Se pueden desarrollar versiones mejoradas similares para diferencias hacia atrás y centrales así como para las aproximaciones de derivadas de orden superior.



GRAFICAS DE APROXIMACIONES
CON DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS
DE LA PRIMERA DERIVADA.

El azul es de aproximacion y el verde de la derivada verdadera
 

HACIA ADELANTE
.

HACIA ATRAS


.

CENTRALES


.

FORMULAS DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS HACIA ATRÁS.
SE PRESENTAN DOS VERSIONES PARA CADA DERIVADA.
LA SEGUNDA FORMA INCLUYE MAS TERMINOS DE LA SERIE DE TAYLOR
Y, POR LO TANTO ES MAS EXACTA
.


FORMULAS DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS HACIA ADELANTE.
SE PRESENTAN DOS VERSIONES PARA CADA DERIVADA.
LA SEGUNDA FORMA INCLUYE MAS TERMINOS DE LA SERIE DE TAYLOR
Y, POR LO TANTO ES MAS EXACTA.
.
 



FORMULAS DE DIFERENCIAS FINITAS CENTRALES.
SE PRESENTAN DOS VERSIONES PARA CADA DERIVADA.
LA SEGUNDA FORMA INCLUYE MAS TERMINOS DE LA SERIE DE TAYLOR
POR LO TANTO ES MAS EXACTA.
.
 



EJEMPLO DE APROXIMACIONES DE DERIVADAS
USANDO DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS..

Úsense aproximaciones de diferencias finitas hacia adelante y hacia atrás de 0(h) y centradas, de 0(hCuadrara ), para estimular la primera derivada de:
 

en x=0.5 usando un tamaño de paso h=0.5. Repetir los cálculos usando h=0.25. Nótese que la derivada se puede calcular directamente como:
 
y se puede usar para calcular el valor exacto de f (0.5)=-0.9125.



SOLUCIÓN.
Para h=0.5, se puede usar la función para determinar:
 
Estos datos se pueden usar para calcular la diferencia dividida hacia adelante ( Ecuación 2 ):
 
la diferencia dividida hacia atrás ( Ecuación 5 ):
 
y la diferencia dividida central ( Ecuación 7 ):
 
Para h=0.25, los datos son:
 

que se pueden usar para calcular la diferencia dividida hacia adelante:
 

la diferencia dividida hacia atrás:
 
y la diferencia dividida central:>/P>
 


METODO DE LA SECANTE POR MEDIO DE DIFERENCIA DIVIDIDA.
Un problema fuerte en al implementación del método de Newton-Raphson es el de la evaluación de la derivada.

Aunque esto no es un inconveniente para los polinomios y para muchas otras funciones, existen algunas de estas cuyas derivadas pueden ser extremadamente difíciles de evaluar.

En estos casos, la derivada se puede aproximar mediante una diferencia dividida, como se muestra en la siguiente figura:
 



ESQUEMA GRAFICO DEL METODO DE LA SECANTE
UTILIZANDO UNA DIFERENCIA.
Esta aproximación se puede sustituir en la ecuación 16 obteniendo la ecuación iterativa:
 
La ecuación 18 es la formula para el método de la secante.

Nótese que el planteamiento requiere de dos puntos iniciales de x.

Sin embargo, debido a que no se requiere de f (x) cambie de signo entre estos valores, a este método no se le clasifica como aquellos que usan intervalo.



EJEMPLO DEL METODO DE LA SECANTE
USANDO DIFERENCIAS DIVIDIDAS.

Úsese el método de la secante para calcular la raíz de f (x)= .
Empiécese con los valores iniciales de x(sub-indice i-1 ) = 0 y x( sub-indice 0)= 1.0.

SOLUCIÓN.
Recuérdese que la raíz real es 0.56714329….
 

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