1.2. - LA RED CRISTALINA

 

Para una apropiada asimilación de lo que significa el orden interno cristalino, se ha de comenzar por la visualización y definición, a través de vectores traslación, del orden interno monodimensional, constituido por las diferentes direcciones de la red que definen, por su periodicidad, filas reticulares donde los nudos están alineados y equidistantes entre sí.

 

 

vin_bolv2.gif (169 bytes)   Fila reticular

 

Se trata de una fila de nudos obtenida por aplicación sucesiva de una traslación definida.

 

El símbolo de las filas reticulares se denomina como los índices [uvw] que son los componentes del vector traslación que une dos nudos adyacentes de la fila considerada expresados en función de un par primitivo cuyo origen se sitúa sobre uno de estos dos nudos.

 

Por ejemplo, para las filas fundamentales:

 

 

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Figura 1.13. – Para filas de nudos fundamentales

 

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Figura 1.14. – Para filas de nudos reticulares

 

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Figura 1.15. – Para filas de nudos reticulares

 

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Figura 1.16. – Para filas de nudos reticulares

 

 

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Figura 1.17. – Para filas de nudos reticulares

 

 

vin_bolv2.gif (169 bytes)   Plano reticular

 

Un plano reticular queda definido por dos filas reticulares conjugadas. Todo plano reticular puede definirse por sus intersecciones (Ha, Kb, Lc) con los tres ejes fundamentales del cristal. Las dimensiones de estas intersecciones (HKL), medidas desde un nudo tomado como origen son los parámetros del plano reticular correspondiente. Sin embargo, la denominación habitual de un plano reticular son los índices de Miller.

 

vin_bolv2.gif (169 bytes)   Índices de Miller

 

Se obtienen calculando las intersecciones (H, K, L), o número de traslaciones, con los tres ejes fundamentales del cristal. Posteriormente se invierten y se eliminan denominadores, o bien, se calculan los cocientes entre el producto de las tres intersecciones dividido entre cada una de las intersecciones: (H*K*L= N, N/H= h, N/K=k, N/L=l)

 

 

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Figura 1.18. – Índices de Miller

 

 

 

Intersecciones: H=æ, K=æ, L=1,

Invertimos: 1/æ=0, 1/æ=0, 1/1=1, no existen denominadores

Índices de Miller: (001)

 

 

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Figura 1.19. – Índices de Miller invertidos

 

vin_bolv2.gif (169 bytes)   1º. Deducir las intersecciones de cada plano con los ejes cristalográficos a, b y c. Es decir, contar el número de traslaciones t1, t2  y t3 que ocupa el plano sobre los ejes a, b y c.

 

El plano ABD ocupa:

2t1 en el eje a,   2t2 en el eje b,  y    4t3 en el eje c

 

El plano EBD ocupa:

4t1 en el eje a,   2t2 en el eje b,  y    4t3 en el eje c

 

vin_bolv2.gif (169 bytes)   2º. Para calcular los índices de Miller de cada plano, a partir de estas intersecciones, se invierten los valores y, si es necesario, se reducen las fracciones

 

El plano ABD corta a los ejes en 2, 2 y 4.

Su inversión es: 1/2, 1/2, 1/4.

 

Reducimos fracciones, quitando denominadores:  2/4, 2/4, 1/4. Sin denominadores queda 221   

Índices de Miller: (221)

 

El plano EBD corta a los ejes en 4, 2 y 4.

Su inversión es: 1/4, 1/2, 1/4.

Reducimos fracciones, quitando denominadores:  1/4, 2/4, 1/4.  sin denominadores queda 121

Índices de Miller: (121)

 

* Este símbolo entre paréntesis (hkl) nombra el plano dado, mientras que entre corchetes {hkl} indica todos los planos homólogos que resultan de aplicar los elementos de simetría del cristal al plano (hkl).

 

 

vin_bolv2.gif (169 bytes)  Celda unidad

 

En una red cristalina existen siempre tres traslaciones no coplanarias que tienen las dimensiones mínimas entre todas las traslaciones posibles de la red: son las traslaciones fundamentales o constantes reticulares, de dimensiones submicroscópicas. La porción del espacio cristalino limitado por estas traslaciones constituye la celda fundamental del cristal y es característica del mismo.

 

cedaunidad1.gif (5358 bytes)

 

Figura 1.20. – Celda primitiva

 

 

Se denomina celda primitiva aquella que no tiene nudos en su interior y celda múltiple a la que si los tiene y está definida por vectores múltiples que son múltiplos enteros del vector traslación unitario de igual dirección. Se llama multiplicidad al número de nudos que hay por celda elemental (todas las celdas primitivas de una red tienen multiplicidad 1 , ¼ * 4 = 1)

 

 

multiplicidad1.gif (9140 bytes)

Figura 1.21. – Celda múltiple

 

 

 

 

REDES PLANAS

 

El orden bidimensional es el resultado de traslaciones regulares en dos direcciones distintas que resultan en la definición de los cinco tipos de redes planas. La asimilación de este orden bidimensional es básica para comprender la regularidad correspondiente a objetos tridimensionales tales como la materia cristalina. Se definen cinco tipos de redes planas con las siguientes características:

 

 

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Figura 1.22. - Red oblicua (a ¹ b g ¹ 90º)

 

 

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Figura 1.23. - Red rectangular (a ¹ b g =90º)

 

 

Existen también redes centradas, que son el resultado de añadir nuevos nudos en el centro de cada paralelogramo generador de la red plana. Sólo puede realizarse esta operación de centrado si la red resultante es morfológicamente diferente de la original; por ello sólo pueden centrarse las redes rectangulares (obteniéndose una red rómbica) o las redes rómbicas (dando lugar a una red rectangular).

 

 

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Figura 1.24. – Redes centradas

 

 

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Figura 1.25. - Red rómbica (a = b g ¹ 90º, 60º, 120º)

 

 

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Figura 1.26. - Red hexagonal (a = b g =60º, 120º)

 

 

cuadrada.gif (11508 bytes)

Figura 1.27. - Red cuadrada (a = b g =90º)

 

 

Las redes planas forman, por apilamiento homogéneo, los distintos tipos de redes espaciales, es decir, las distintas familias de planos cristalinos que integran el cristal. La manera como estos planos se apilan determina los ángulos entre las traslaciones fundamentales en las tres dimensiones que es lo que define, a su vez, la forma y dimensiones del paralelepípedo o celda unidad que caracteriza la red cristalina.

 

 

REDES DE BRAVAIS

 

De la superposición de planos se generan catorce celdas morfológicamente distintas que se conocen como las Redes de Bravais, en honor de su descubridor.

 

En términos de redes cristalinas tridimensionales, los paralelepípedos fundamentales, morfológicamente distintos son el resultado de combinar las tres traslaciones fundamentales de valores dados con sus inclinaciones respectivas, es decir, con los tres ángulos a, ß, y g .

 

Su construcción se realiza apilando paralelamente una sucesión infinita de modelos planos idénticos, de manera que la distancia entre ellos sea siempre igual (familia de planos). Mientras que en el plano se deducían cinco tipos de redes, en el espacio tridimensional se reconocen hasta catorce distribuciones periódicas:

 

 

Red triclínica (a#b#c       a#ß#g#90º)

 

Debido a los valores distintos entre sí de las traslaciones y de los ángulos fundamentales, el paralelepípedo tiene forma cualquiera, triplemente inclinado (por ello se denomina triclínico). Se trata de una red primitiva.

 

brav_tricl.gif (3196 bytes)      1-Brav_tricl.gif (1370 bytes)

Figura 1.28. – Red Triclínica

 

 

 

Redes monoclínicas (a#b#c     a=g=90º#ß )

 

La celda es un paralelepípedo no recto de base rectangular (formados por redes planas rectangulares).

 

-          Red monoclínica primitiva, P

-          Red monoclínica de base centrada

 

brav_monocl.gif (5244 bytes)1-Brav_moncl.gif (2419 bytes)

Figura 1.29. – Redes monoclínicas

 

La operación de centrado de redes   permite la generación de este otro tipo de red. Si se centra la red plana rectangular (100), su símbolo es A, y si se centra la (001) es C. Morfológicamente estas redes sólo se diferencian en su orientación, por tanto, las redes monoclínicas de base centrada A y C son equivalentes.

 

 

 

Redes rómbicas (a#b#c      a=ß=g=90º)

 

 

- Red rómbica primitiva, P

 

El paralelepípedo fundamental es un prisma recto de base rectangular. Los tres planos fundamentales, (100), (010) y (001), más los planos diagonales del prisma, son redes planas rectangulares

 

- Redes rómbicas centradas

 

La operación de centrado de redes   permite la generación de estos otros tipos de red. Si se centran las redes planas rectangulares (100), (010) y (001) sus símbolos son respectivamente A, B y C.

 

Morfológicamente estas redes son iguales y se denominan red rómbica de base centrada, simbolizada por C. Cuando la operación de centrado es sobre las tres caras a la vez, la red se denomina red rómbica de caras centradas y se simboliza por F. Si el centrado se produce en los planos diagonales del prisma, la red resultante se denomina red rómbica centrada en el interior, de símbolo I.

 

 

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Figura 1.30. – Redes Rómbicas

 

 

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Figura 1.31. – Redes Rómbicas

 

 

 

Redes tetragonales (a=b#c   a=ß=g=90º)

 

 

-         Red tetragonal, P

 

La celda fundamental es un prisma recto de base cuadrada. La familia de planos (001) son de red plana cuadrada, mientras que (100) y (010) son rectangulares e idénticos entre sí.

 

 

      -    Red tetragonal centrada, I

 

Al ser iguales por simetría, los planos (100) y (010) no pueden centrarse independientemente, y, a su vez, no pueden hacerlo simultáneamente porque ello destruye la homogeneidad de los planos de la misma familia.

 

Sin embargo, los planos diagonales, que son también redes rectangulares, pueden centrarse dando origen a la red tetragonal centrada en el interior, I.

 

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Figura 1.32. – Redes tetragonales

 

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Figura 1.33. – Redes tetragonales

 

 

 

Red hexagonal, P (a=b#c     a=ß=90º, g=120º, 60º)

 

El paralelepípedo fundamental es un prisma recto de base rómbica (de ángulo de 60º). Para visualizar la forma hexagonal se toma una celda múltiple integrada por tres de estas celdillas rómbicas

 

Esta red hexagonal permite un apilamiento especial de los planos hexagonales. Según éste, los nudos se proyectan a 1/3 o a 2/3 de la diagonal mayor del rombo, dando como resultado una red romboédrica, R de (a=b=c        a=ß=90º)

 

 

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Figura 1.34. - Redes hexagonales

 

1-Brav_hex.gif (1440 bytes)   1-Brav_trig.gif (1378 bytes)

Figura 1.35. - Redes hexagonales

 

 

 

Redes cúbicas (a=b=c      a=ß=g=90º)

 

-          Red cúbica primitiva, P: El paralelepípedo fundamental es un cubo.

 

-          Redes cúbicas centradas: El centrado de las caras del cubo no debiera ser posible puesto que son redes planas cuadradas.

 

Las redes cúbicas centradas se originan cuando el ángulo del romboedro se hace igual a 60º y las tres diagonales del romboedro se hacen iguales entre sí, definiendo las aristas de un cubo que circunscribe al romboedro. Así, la distribución de nudos es la correspondiente a un cubo de caras centradas, originando la  red cúbica de caras centradas, F.

 

De forma similar, cuando el ángulo entre las aristas del romboedro es de 109º 28´ 16´´, las diagonales de sus tres caras fundamentales son perpendiculares entre si e iguales en magnitud, y definen un cubo inscrito en el romboedro. La distribución de nudos corresponde a una red cúbica centrada en el interior, I.

 

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Figura 1.36. – Redes Cúbicas

 

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Figura 1.37. – Redes Cúbicas

 

(Las redes cúbicas no sólo son casos especiales de redes romboédricas, sino que también lo son de redes tetragonales).

 

 

 

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